齐次非齐次线性方程解的性质？

参考书

线性代数课本

求a取何值时，线性方程组（-x1-4x2+x3=1,(ax2-3x3=3),(x1+3x2+(a+1)x3=0，那么根据未知数去确定方程解的情况。那些是无穷，那些是唯一或者无解的。

首先对矩阵进行初等变换，因为系数矩阵中含有a这个未知数所以进行计算的时候一定不要讲a放在分母的位置避免a为0的情况。那么化成阶梯型得到矩阵（-1，-4,1,1),(0,-1,a+2,1),(0,0,a²+2a-3,a+3)

那么假设a²+2a-3,a+3等于0，那么a的取值为1，-3，将1带入得到矩阵是无解的也就是非齐次方程是无解的，如果将-3带入得到方程的系数矩阵的秩等于2并且等于增广矩阵的秩也就是存在无数解。

那么对于无数解以及唯一解进行计算。无穷解的情况是（1,4，-1，-1,(0,1,1-1)再化简得到（1,0，-5,3）,(0,1,1,-1)x3为自由变量，特解就是常数项向量，自由变量代表了解的秩，基础解析的个数，那么齐次的基础解析是（5，-1,1）

对于唯一解不需要按照之前的步骤进行因为解是唯一的，那么只要明确任何一个未知数的关系用其表示就可以了。所以最后得到的增广矩阵是（1,4，-1，-1）(0,1,-(a+2),-1),(0,0,a-1,1)很明显x3的关系直接可以确定那么x3是可以用a表示的。

得到x3=1除以a-1,x2=3除以a-1,x3=a+10除以1-a,那么方程的唯一解为（x1,x2,x3）也就是用未知a表示的方程。