本文，用Mathematica来验证一个代数问题：设a是模长为1的n维向量，a'是a转置而成的列向量，求证I-2a'.a是一个正交矩阵。本文，以n=5为例，加以验证。
工具/原料
1
电脑
2
Mathematica
方法/步骤
1
给出一个长度为1的5阶向量：n=5;a = Subscript[x, #] & /@ Range[n];a = {a/Sqrt[a.a]}
2
计算：b=2*Transpose[a].a这是一个5*5的对称矩阵。
3
计算：c=IdentityMatrix[n]-b;
4
这是一个对称矩阵：Transpose[c]==c
5
要证明a是正交矩阵，只需要证明：Transpose[c].c是对角矩阵。实际上，这是一个单位矩阵。
6
这个例题，提供了一种方法，可以方便的构造标准正交基。比如，在三维空间里面，只要x1^2+x2^2+x3^2≠0，那么下面的矩阵，作为向量的集合，恰好是三维空间的一个标准正交基。
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