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交比定理 交比：给定四个点，A、B、C、D，那么，（A,B;C,D）=(AB·CD)/(AC·BD)就是这四个点的交比，换言之，就是“交叉比值”。 交比定理：射影变换保持交比不变。假设E是射影中心，直线m上的点A、B、C、D与E的连线交直线n于A'、B'、C'、D'。那么，（A,B;C,D）=（A',B';C',D'）。 下面，用面积法给出这个问题的证明，看图。
齐次坐标和对偶原理 如果一个点的Descartes坐标是(a/c,b/c)，那么齐次坐标是 (a/c,b/c,1)，也可以是(a,b,c)；只要这个比值相同，就始终代表同一个点。齐次坐标包括点坐标和线坐标，而且，齐次点坐标和齐次线坐标的外形是相同的，所以从代数学的角度看，点共线的对偶情形是线共点。这就是对偶原理的主要内容。 在我看来，齐次坐标的作用就是统一了对于点和线的操作。
二次曲线上的射影变换 这里，有一个非常深刻的结论：两个中心不重合的射影对应的线束，对应直线的交点的轨迹是一条经过两个中心的二次曲线。这是射影几何学里最重要的结论，它的证明过程，如果用代数的方法，是非常简洁的，这里不在赘述；不过作为补偿，用一个图例来演示一下：平面上，三个定点A、B、C，四条定直线（黑色的）；J、N分别是直线m、n上的动点，线束A(J)和B(N)是射影对应的；直线AJ交BN于P，那么当点J遍历直线m时，P的轨迹是一条经过A和B的二次曲线（图例中的二次曲线是椭圆）。 反过来，给定某条二次曲线上的定点A、B和动点P，那么，线束A(P)和B(P)是射影对应的。
配极变换和对偶原理 要了解配极变换，先要了解极点和极线的概念。极点和极线都是针对二次曲线而来的。 当点C位于二次曲线里面的时候，过C做二次曲线的任意两条弦DG、EF；设直线DF交EG于H，DE交FG于I；那么，对于这条二次曲线，C的极线是HI，HI的极点是C，极点和极线总是相互的。 当点C位于二次曲线上（或外面）的时候，是相对简单的，这里不提。 对偶原理在这里的体现是：如果点共线，那么这些点关于某条二次曲线的极线必共点；反之亦然。
不动点原理 任何一个射影变换，无论是点列、线束，还是二次曲线上的射影变换，都有不动点。而寻找不动点，是解决许多作图问题的重要途径。 看下图：给定二次曲线 f 上的两个定点M、N，定直线 u 交 f 于P、Q；A是 f 上的动点，直线AN交 u 于R，直线MR交 f 于A'；那么，从A到A'就是射影变换，A和A'是射影对应的关系，A的对应点是A'。如果A向M靠近，那么A'就向N靠近，这说明M的射影对应点是N。容易发现，P、Q是这个射影变换的不动点，即：P的对应点是P，Q的对应点是Q。 思考一下，A'的对应点在哪里？
对合 这里说的对合，指的是射影变换里的对合。如果A到A'是一个射影变换，同时，A'的对应点是A，那么这个射影变换就是对合。 对合，只有两种基本形式： 倒数型：u·u'=k(k≠0)； 相反数型：u+u'=0。
这些定理，对于初中、高中阶段那些未曾接触过射影几何学的学生来说会显得非常困难，但是却可以用射影几何学的交比定理来简单地解决。 Desargues定理：给定平面上的两个三角形ABC和A'B'C'，如果直线AA'、BB'、CC'共点于T，那么：AB与A'B'的交点、BC与B'C'的交点、CA与C'A'的交点，这三个交点共线于t。这里把T称为两个三角形的透视中心，把t称为两个三角形的透视轴。换句话说就是：两个三角形存在透视中心，等价于存在透视轴。
Pappus定理：平面上任意两条直线m和n，A、B、C是m上任意三个点，A'、B'、C'是n上任意三个点。如果：AB'交BA'于P，AC'交CA'于Q，BC'交CB'于R；那么：P、Q、R三点共线。 这个定理其实是Pascal定理的特殊情形。
Pascal定理：二次曲线上任意六个点A、B、C、A'、B'、C'。如果：AB'交BA'于P，AC'交CA'于Q，BC'交CB'于R；那么：P、Q、R三点共线。 当二次曲线退化为双直线的时候，这就是Pappus定理。 Pascal定理的对偶形式是：二次曲线任意外切六边形的三条主对角线共点。参照前面的“配极变换和对偶原理”。
不要把二维齐次坐标和三维Descartes坐标混为一谈。
射影几何学的基本定理，都可以用交比定理予以简单的证明，所以这里不予啰嗦。