向量的内积和外积，操作起来比较困难。尤其是外积，必须与单位伪标量相结合，才能体现其具体大小。Grassman把内积和外积加起来，形成以一个新的向量乘积，称为几何积。这一创举，看似平平无奇，却起到了强大的作用，并因此而确立了一个新的数学体系——几何代数。本文，我们就来介绍二维空间向量的几何积。2【几何代数】怎么理解二维向量空间的外积？
工具/原料
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电脑
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网络画板
方法/步骤
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仍旧采用前文的记号，我们把向量A和B的几何积记为AB：AB=A·B+A⋀B大家可能会感到奇怪，标量和双向量能相加吗？这确实不容易理解，毕竟传统思维方法不允许这样。不过，这里，就需要读者自觉打破思维局限，接受这样一个事实：标量、向量、双向量以及多向量都是允许相加的。
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上面是用内积和外积来定义几何积的。实际上，可以直接定义几何积。如下图：
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如果两个向量A和B垂直，那么A·B=0，此时有：AB=A⋀B=-BA=-B⋀A也就是说，互相垂直的两个向量的几何积等于它们的外积，都满足反交换律。
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如果两个向量共线，那么A⋀B=0，表示由A和B围成的平行四边形面积为0，那么：AB=BA=A·B=B·A也就是说共线的两个向量的几何积等于它们的内积，都满足交换律。
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在一般情况下，AB和BA不相等，也不相反。上面的步骤3和步骤4，仅仅是特殊情形，分别对应着相反和相等两种情形。结合步骤3，可以给出前文关于单位伪标量的平方等于-1的证明。
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类似于单位伪标量相当于虚数单位，一般的几何积具有复数的一些性质。