有限单元法的数学基础

当有限单元法成功地应用于求解弹性力学平面问题之后，下一步要解决的问题就是：这能否把这种方法在寻找连续介质问题求解方法的时候。在寻找连续介质问题近似算法的时候，数学家们发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。这些方法与有限单元法之间有何关联? 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文，证明所有结构分析方法可以归结为位移法(以结点位移为基本未知量)或力法(以结点力为基本未知量)。在1963年前后，经过J. F. Besseling, R. J. Melosh, R. E. Jones, R. H. Gallaher, T. H. H. Pian(卞学鐄，美国国家工程院院士，美国麻省理工学院航空和宇航系教授)等许多人的工作，逐步认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，推导出了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1965年O. C. Zienkiewicz(英国斯西大学士土木系教授)和Y. K. Cheung(张佑启)发现能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。1969年B. A. Szabo和G. C. Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元方程式来求解非结构分析问题。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的学者有：陈伯屏(结构矩阵方法)，钱令希(余能原理)，钱伟长(广义变分原理)，胡海昌(广义变分原理)，冯康(有限单元法理论)。其中冯康的工作更接近Clough的工作。“20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础”(《数学辞海》第四卷)。