本文，用代数整数环的理想因子分解理论，来解决一个丢番图方程问题：求奇素数p，使得x^2+5y^2=p有整数解。
工具/原料
1
电脑
2
python
二次互反律的应用
1
令奇素数p=2q+1，q为正整数。
2
-5是奇素数p的二次剩余，当且仅当(-5)^q=1(mod p)。
3
当q为偶数，那么，就相当于5也是p的二次剩余。
4
使用二次互反律，可以知道，5是p的二次剩余，等价于p是5的二次剩余。这样，可以知道，p是模4余1的5n±1型的素数。
5
当q为奇数，那么，5就是p的非二次剩余，这样应用二次互反律，可以发现p还是5的二次剩余，于是有p是模4余3的5n±1型的素数。
6
如果p是模4余3的素数，那么x和y必定是一个奇数和一个偶数，于是：左边=x^2+5y^2=1(mod 4)；右边=p=3(mod 4)，矛盾。
注意事项
本文暂时没有解开这个问题，仅仅是根据二次互反律，限制了奇素数p的大体范围是模4余1的5n±1型的素数。
下一篇：如何学习密码学？