有关线性无关定义同乘的证明？

参考书

线性代数课本

已知A是n阶矩阵，a1,a2,a3是n维向量，若Aa1=a1不等于0，Aa2=a1+a2,Aa3=a2+a3,证明向量组a1,a2,a3是线性无关的。

用定义，同乘假设k1a1+k2a2+k3a3=0。根据已知的关系式，需要进行 关系的重组得到一个关于a1的关系以及a2的关系a3的关系式。如9（A-E）a1=0。然后带入这个齐次方程组得到新的方程组如k2a1+k3a2=0。

接着用同乘进行带入会得到一个简化的方程组为k3a1=0,根据已知a1是非0向量所以常数一定是0的，那么接着往上带得到得到k2a1是等于0的，因为a1是非零那么k2也是0，再往上带得到所有的常数是等于0。

仍然用同乘进行求解，只不过方程等式左乘以A矩阵化简得到k1a1+k2a1+k2a2+k3a2+k3a3=0,再进行组合得到（k1+k2）a1+(k2+k3)a2+k3a3=0。假设常数项都是0，那么得到一个关于K的齐次方程组。

线性方程k1+k2=0,k2+k3=0,k3=0。对系数矩阵进行分解并进行初等变换得到矩阵的等价矩阵是E，所以系数矩阵是满秩，所以方程只有0解。也就是k1,k2,k3都是等于0。带入最初的线性方程知道方程一定是线性无关的。这跟当初的设想是一样的。

用秩求解，如果AB=0那么有一个结论是RA+RB小于等于N。其中的N是A矩阵的行向量的个数，也是B向量的列的维数。如果确定了一个矩阵的秩，另一个秩一定是可以确定的。那么线性相关还是无关就可以确定了。