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Mathematica
首先，绘制一个单位圆形和椭圆形。圆的方程是：x^2+y^2==1;椭圆的方程是：x^2/2^2+y^2==1。 然后把单位圆形转化为椭圆形。 不知道为什么，用网页版Mathematica导出的动态图就能播放一次呢？比如下面第三幅图。
下面用另一种方法，把单位圆变成椭圆，其实很简单，只要在方程里面填上参数就行。x^2/a^2+y^2==1 当a从1变为2，就是一个变形过程。而且代码也简单的多：Manipulate[ContourPlot[x^2/a^2+y^2==1,{x,-2.1,2.1},{y,-1.1,1.1},AspectRatio->Automatic],{a,0,1}]
圆的参数方程是：{Cos[u],Sin[u]};椭圆的参数方程是：{2 Cos[u],Sin[u]}； 试图用参数方程实现图形的转化。 同样是有两种转化方法，第一种方法是：(1-a)*{Cos[u],Sin[u]}+a*{2 Cos[u],Sin[u]}，其中a从0变为1； 第二种方法是：{a*Cos[u],Sin[u]}，其中a从1变为2。
这一次，把圆变成正方形，同时要求圆和正方形的面积都是1。 其中，正方形的方程是：Abs[x]+Abs[y]==1/Sqrt[2]； 圆的方程是：Abs[x]^2+Abs[y]^2==1/Pi。 不过，转化过程就只能使用第一种方法了，因为我没有求出Abs[x]^a+Abs[y]^a==1的面积公式，所以无法用第二种方法。 这个“化圆为方”是不完美的，中间过程并没有保持图形面积不变，好在首尾的正方形和圆形的面积都是1。 要想获得保持面积始终相等的变形过程，看看大家有没有好的办法？
再来一个三维的例子，把球形变成正八面体。 不过，这一次不去刻意追求面积或体积相等，而是放宽限制，便于用第二种方法进行变形。 正八面体的方程是：Abs[x]+Abs[y]+Abs[z]==1 于是，Abs[x]^a+Abs[y]^a+Abs[z]^a==1，当a从2变为1，就实现了球到正八面体的转化。 网页版Mathematica执行不了这个互动代码，因为用时间太长？
最后，请大家思考结合问题： 正方形的参数方程是什么？ 正方体的隐函数方程和参数方程是什么？ 正八面体的参数方程是什么？ 上面第四步“化圆为方”的过程中，如果要求变形过程里所有的图形都保持面积不变，能实现吗？
在以后的文章里，会陆续提及共形变换等更高明的几何变换方法。
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