不用计算器解超越方程

对一道题的解法说明：一位网友提出一个问题，问题如下：已知函数f(x)=x+xlnx若k∈Z，且k＜f(x)/(x-1)对任意x>1恒成立，求k的最大值。对这道题我是很容易解的，因为我在某大学既教数学、又教计算机，为了教学，还自己开发了一个自动绘制函数的软件，把函数输入，自动出图像如下：从图像中一眼就看出答案，k应该是3.但是，我不能这样做，因为这不是正常方法。我按照正常方法，先对函数求导，求出驻点；再对驻点的邻域进行函数增减性讨论，确定出最小值；最后定出k.但是最后我还是忘记取整了。这个答案得到提问者采纳，并给予好评。但是，不少评论者询问，不用计算器这个值怎么求？我就简单地说一下。问题可归纳为两点：（1）驻点如何求？（2）函数lnx如何算？特别是不用计算器，这些如何求。（1）求驻点[(x+xlnx)/(x-1)]'=[(x-1)(2+lnx)-x-xlnx]/(x-1)^2=(x-2-lnx)/(x-1)^2求驻点问题归结为求：x-2-lnx=0的解，这不是一般方程，只能求近似解。如借助于我的绘图软件得：从图像看，驻点的值比3略大一点，因考虑不用计算器(提问者的附加要求)，驻点应与已知的π接近。为了进行近似计算，作变换x=πt, t与1接近，就可用ln(1+s)≈s了。这样方程x-2-lnx=0就变成：πt-2-lnπ-lnt=0∵t=x/π=1+(x-π)/π=1-(1-x/π)∴lnt≈-(1-x/π)方程也变为：x-2-lnπ+1-x/π=0x(1-1/π)=1+lnπX=(2π+πlnπ)/(π-1)≈3.14(2)求函数值f(x)=x+xlnxX既然已经求出，关键就是计算lnx了，既然求出了x-2-lnx=0的解是x=3.14 lnx就等于x-2=1.14, f(x)≈3.14+3.14*1.14, f(x)/(x-1)≈(3.14+3.14*1.14)/2.14≈3.14.从而得：k=3若要提高精度，可进一步利用：ln(1+x)≈x+x^2/2,不过计算量又大了。好在最后求的是整数，精度不是大问题。附注：图片贴不上