本文用Thébault定理来证明如下的问题：圆内接四边形ABCD，求证：△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内切圆圆心构成矩形。
工具/原料
1
电脑
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网络画板
方法/步骤
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先介绍一下Thebault定理：如下图，I、J、K三点共线，且KI:IJ=(tanu)^2。
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下面开始处理原题。先标记题目中四个三角形内切圆的圆心是Ia、Ib、Ic、Id。
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假设对角线AC和BD交于X。与线段AX、BX及外接圆相切的圆的圆心记为Ocd，类似的，有Oda、Oab、Obc。
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设AX与BX的夹角是2u，根据Thebault定理，可以证明：Oda、Id、Ocd三点共线，且OcdId:IdOda=(tanu)^2。
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所以，IaId//OabOcd。
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原题结论成立。
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