【抽象代数】Gauss整数环里面的最大公约数

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最大公约数的概念。注意，在某些代数整数环里面，最大公约数未必存在。但是，Gauss整数环里面肯定存在，因为Gauss整数环是主理想整环。

在《【抽象代数】Gauss整数环里面的算术》里面最后，我们给出了两个复数a=7+5i，b=18+5i之间的带余除法。这说明b不能被a整除。下面，我们要计算b和a的最大公约数，根据Eculid方法，有下式成立。(18+5i,7+5i)=(-1+2i,7+5i)

注意到-1+2i的模长比7+5i小，所以对7+5i和-1+2i进行带余除法。我们在复平面上画出-1+2i、7+5、(7+5i)/(-1+2i)，并找出距离(7+5i)/(-1+2i)最近的Gauss整数1-4i。

于是有进一步的Eculid方法。18+5i与7+5i的最大公约数是-i，其实也可以理解为i、1、-1，这四个元素是相伴的。于是，可以认定，18+5i与7+5i是互素的。

再举一个例子，a=112+i，b=-57+79i。最接近a/b的Gauss整数是-1-i。112+i-（-1-i）（-57+79i）=-24+23i。