本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性等性质,介绍函数用导数工具画隐函2x^3+y^3=3x的图像的主要步骤。
工具/原料
1
隐函数有关知识
2
函数图像有关知识
3
导数相关知识
主要方法与步骤
1
函数的定义域,根据函数特征,函数自变量可以取全体实数,即定义域为:(-∞,+∞),并根据定义域和因式分解,判断函数y的取值正负。
2
函数的单调性,通过函数的一阶导数,求出函数驻点,由一阶导数的正负,判断函数的单调性,进而得到函数的单调区间。
3
知识拓展: 函数的单调性也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性。3 如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微),若x∈D时恒有f'(x)>0,则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之,若x∈D时,f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。
4
函数的凸凹性,通过函数的二阶导数,解析函数的凸凹性。
5
求出函数的拐点,判断函数拐点的符号,进而得到函数的凸凹区间。
6
函数的奇偶性,根据奇函数的判断原则,得函数图像关于原点对称,即函数为奇函数。
7
知识拓展:一般地,如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 一般地,如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
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函数五点图,列举隐函数上部分点图表,归纳如下表所示:
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函数的示意图,综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性、奇偶性等性质,函数的示意图如下:
注意事项
隐函数是不能直接解析成y=f(x)形式的函数
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