Mathematica研究空间曲线的曲率、挠率

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给定自然参数曲线C：r[s]上一点P，P对应的参数值为s，P的临近点Q对应的参数值为s+s0，那么P沿着曲线C跑到Q，切向量转过的角度是：r[s]:={Cos[s/Sqrt[2]], Sin[s/Sqrt[2]], s/Sqrt[2]};Assuming[Element[{s,s0},Reals],       VectorAngle[r[s],r[s]/.s->s+s0]//Simplify]

当s0趋于0时，对应的极限就是曲线C在P的曲率，记为k[s]:k[s_]:=Limit[Assuming[Element[{s,s0},Reals],      VectorAngle[r[s],r[s]/.s->s+s0]//Simplify],s0->0]k[s]Assuming[s>0,k[s]//Simplify]

事实上，k[s]就等于r''[s]的模长：D[r[s],{s,2}]Sqrt[D[r[s],{s,2}].D[r[s],{s,2}]]//Simplify可是为什么与上面一步结果不符呢？

当s0->0时，副法向量转过的角度的极限就是副法向量的微商的模长（因为副法向量是单位向量）：k[s_]:=Limit[Assuming[Element[{s,s0},Reals],      VectorAngle[\[Gamma],\[Gamma]/.s->s+s0]//Simplify],s0->0] k[s]Assuming[s>0,k[s]//Simplify]D[\[Gamma],s]Sqrt[D[\[Gamma],s].D[\[Gamma],s]]//Simplify为什么两种结论？

证明曲线的副法向量γ的微商跟主法向量β平行：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t}\[Alpha]=D[r[t],t]/Sqrt[D[r[t],t].D[r[t],t]]//Simplify\[Beta]=D[r[t],{t,2}]/Sqrt[D[r[t],{t,2}].D[r[t],{t,2}]]//Simplify\[Gamma]=Cross[\[Alpha],\[Beta]]//SimplifyD[\[Gamma],t]//SimplifyVectorAngle[D[\[Gamma],t],\[Beta]]//SimplifySolve[D[\[Gamma],t]==u \[Beta],u]

所以，挠率的定义如下。