平面上的刚体运动，包括旋转、平移和轴对称，以及它们的复合。下面，我就用网络画板演示一下，刚体运动的复合，蕴含的规律。
工具/原料
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电脑
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网络画板
基本内容
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旋转，在网络画板里面有专门工具：选择A和O，点击旋转工具，在对话框里面输入36，旋转逆时针、角度，确定之后，就得到A1。A1是A绕O逆时针旋转36°，得到的点。
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平移，其实就是向量的加法：选择A，再选择向量OB（有向线段），点击平移工具，就可以实现平移。如图，A按照向量OB平移，得到A2。
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反射，就是轴对称变换：选择点A和直线u，再点击轴对称变换工具，就得到A关于u的对称点A3。
旋转与平移的复合
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刚体变换的复合是不可交换的。比如，先旋转再平移，跟先平移再旋转，效果不一样：A1按照向量OB平移，得到A4；A2绕O逆时针旋转36°，得到A5；A4和A5不重合。
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实际上，A4绕A1逆时针旋转36°，恰好与A5重合；或者说，向量OB绕O逆时针旋转36°，作为A1的平移向量，得到A5点。
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还可以这样理解：向量A1A5与OB夹角是36°；△AOA2绕O逆时针旋转36°，得到△A1OA5。
旋转与反射的复合
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先旋转再反射：设A1关于直线u的对称点是A6；先反射再旋转：A3绕O逆时针旋转36°，得到A7。
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可以证明，A6和A7，关于OA3对称。
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也就是说，先旋转再反射，相当于先反射再反方向旋转：A3绕O顺时针旋转36°，与A6重合。
平移与反射的复合
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设A2关于直线u的对称点是A8；A3按照向量OB平移，得到A9。A8和A9一般是不重合的，所以平移和反射，也是不能交换的。
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通过观察，容易发现，A8和A9，到A3的长度相等。
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而∠A8A3A9的平分线，始终与直线u平行。
注意事项
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平面上所有的刚体运动，都可以通过旋转、平移、反射复合得到。
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复合是不可交换的。
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平面上所有的刚体运动，构成一个运动群。
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