初等矩阵和正交矩阵的应用？

参考书

课本

对于矩阵A如果知道它的行变换P以及列变换Q。对于矩阵A的变换行变换一定在A的左边与A相乘，列变换在A的右边与A相乘。然后根据矩阵初等变换的形式进行解答。

逆矩阵的初等变换，首先知道A矩阵经过初等变换的动作，是行变换还是列变换。然后根据初等矩阵的变换性质是行的K倍还是相加。得到初等矩阵的逆矩阵，再在A矩阵的逆矩阵的基础上进行初等变换。

对于A矩阵的N次方的形式。可以先计算PA的乘积在计算PAQ的乘积矩阵。主要还是观察矩阵的形式。还可以根据行列分块矩阵的形式进行解答。倍加，换行或者数列。

计算等价矩阵，前面说过等加矩阵的秩不变，而且是经过有限次的初等变换得到的矩阵就是初等矩阵。所以由秩以及行列式的值等价的条件是秩相等。所以A等价于B。

求常数，已知一个矩阵的形式跟常数K的关系，求常数。那么根据正交矩阵的性质。AA的转置等于E，所以那么根据行变换以及列变换的关系等到一个除了E之外的常数项，那么常数项的值一定是0.

正交矩阵的性质，正交矩阵的列向量的长度等于1，列向量是两两正交的。而且行向量的长度也是等于1的，两两正交。这就跟后面的斯密特正交化联系到一块了。