基础的向量知识
余弦定理
【向量的减法】首先，我们知道，对于两个向量 u 和 v ，其和 u + v 表示这两次向量的叠加。借用向量加法的规则，我们很容易理解向量的减法 u - v = u + (-v) 可以表示为三角形的第三边：
【向量长度的概念】 如此一来，我们就将 u、v 、和 u- v 构造成了三角形的三条边。显然根据余弦定理，我们可以列出一个关于 u、v 、和 u- v 长度和夹角的方程。不过在此之前，我们可以先引入两个数学记号来表示两种运算。 为了简单又清楚地表达向量长度的概念，我们引入一个新的记号||向量||：1. ||u|| 表示 向量u 的长度，2. ||v|| 表示 向量v的长度，3. ||u - v|| 表示 向量 (u-v) 的长度 显然，任意一个二维向量p，都可以表示成平面上的坐标(p₁,p₂)。而长度||p||等于从原点到p点(p₁,p₂)的长度。显然，根据勾股定理，有：||p||² = p₁² + p₂² = p₁* p₁ + p₂ * p₂
有了向量长度的记号，后续推导就清晰得多了。我们把u、v 之间的夹角记作θ， 则根据余弦定理，显然有： ||u - v||² = ||u||² + ||v||² - 2 ||u|| * ||v|| * cosθ 简单移项： ||u|| * ||v|| * cosθ = 1/2[ ||u||² + ||v||² - ||u - v||² ] = 1/2[ u₁² + u₂² + v₁² +v₂² - (u₁ - v₁)² - (u₂ - v₂)² ] = u₁ v₁+ u₂v₂
这其实是一个一般公式，对任意u、v向量都适用。为了简化上面这个公式，我们不妨取两个单位向量来替代这里的一般性向量（所谓单位向量就是长度为1的向量），令：u = (cosα, sinα)v = (cosβ, sinβ) 显然，这里的 ||u||、||v||都是1。然后带入上面的公式： cosθ= cosαcosβ + sinαsinβ 这里的θ表示二者的夹角，故θ = α- β：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ 命题得证。