用Mathematica学习微分几何——曲线论（一）

电脑

Mathematica

圆柱螺旋的参数方程是：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} ParametricPlot3D[r[t],{t,0,6*Pi}]

圆柱螺旋是正则曲线，因为r'[t]≠0。r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} r'[t]r'[t].r'[t]//FullSimplify

求圆柱螺旋r[t]在t=π/3时的切线方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};p-r[t]==a r'[t]       消去参数a，就得到螺旋线的切线方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};Eliminate[p-r[t]-a r'[t]==0,a]       再用Rule指定t->π/3就行了。

求r[t]的法平面的方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} p={x,y,z};       因为法平面和切向量垂直，所以(p-r[t]).(r'[t])==0       这就是法平面方程。

求螺旋线在｛t,0,t｝之间的弧长：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6} Integrate[Sqrt[r'[t].r'[t]],{t,0,t}]       Mathematica有一个专门求曲线的弧长的函数：ArcLength[r[t],{t,0,t}]

如果把正则曲线的弧长记为s，有：s=s[t]       求出s和t的反函数：t=t[s]，就得到了曲线的自然参数方程：r[s_]:=(r[t])/.t->6*s/Sqrt[37]r[s]//Simplify//TraditionalForm       此时，自然参数方程是：r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}

在自然参数下，r[s]的微商的模长是1。r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]} r[s]r'[s]r'[s].r'[s]r'[s].r'[s]//Simplify