用数学工具研究一个有趣的数学题

一个有趣的问题：已知：f(x)=4^x/(4^x+2)，求f(1/n)+f(2/n)+⋯+f((n-1)/n)（n是大于2的正整数）。这个问题，有一个非常简洁的解答方法，不过这里先卖个关子，末尾再贴答案。

工具/原料

电脑

Mathematica

网络画板

方法/步骤

先用Mathematica暴力破解之：f[x_]:=(4^x)/(4^x+2)Assuming[{n>2,Element[n,Integers]},Sum[f[i/n],{i,n-1}]]//FullSimplify运行结果不尽人意。

网友explorer给出了一个“不完全归纳法”：f[x_]:=(4^x)/(4^x+2)t=Table[Sum[f[i/n],{i,n-1}],{n,1,10,1}]//FullSimplifyFindSequenceFunction[t,n]得到答案是（n-1）/2。

用网络画板作出y=f(x)=4 ^ x / (4 ^ x + 2)的图像。观察发现，f(x)似乎关于点（1/2，1/2）对称。

检验一下，看是否f(x)+f(1-x)=1。用Mathematica检验：f[x_]:=(4^x)/(4^x+2)f[x]f[1-x]Simplify[f[x]+f[1-x]]发现确实有f(x)+f(1-x)=1。

于是，问题就简单了。注意到： f(x)+f(1-x)=4^x/(4^x+2)+4^(1-x)/(4^(1-x)+2)=1，所以： f(1/n)+f((n-1)/n)= f(2/n)+f((n-2)/n)=⋯=1， f(1/n)+f(2/n)+⋯+f((n-1)/n)=(n-1)/2 。

注意事项

我真正在意的是两点：

Mathematica为什么不能直接解决这个问题？QPolyGamma（双Γ函数）是什么东西？

如果考试的时候遇到这个问题，却不知道f(x)+f(1-x)=1的结论，也没有其它辅助工具，应该怎么办？

欧尼酱