傅里叶变换基本性质
梳状函数基本性质
连续时间傅里叶变换的定义:简称为CTFT,即continuous-time Fourier transform,其定义如下图所示.此处的连续时间并不一定指代被变换函数为时间变量的函数,例如在光学上,其可指代连续的空间变量.注:此处考虑了1D的情形,多维情形可直接进行扩展即可.
离散时间傅里叶变换的定义:简称为DTFT,即discrete-time Fourier transform.首先,离散时间被变换函数定义如下图中(1)式所示,而离散时间傅里叶变换则如下图中(2)式所示,(3)式为利用傅里叶变换卷积定理得到的另一种离散时间傅里叶变换的表达式.此处的符号T指代离散时间函数相邻两个值的间隔.
离散傅里叶变换的定义:简称为DFT,即discrete Fourier transform.以上的两个定义式中,连续时间傅里叶变换在计算G(f)时需要对g(x)进行连续积分,这在计算机上是不现实的;离散时间傅里叶变换虽然采用了离散样本计算,可是对于定义在无穷时间变量上的函数,则需要无穷多个样本,从而也不具被数值计算可行性.为了充分利用计算机的数字特点,定义下图的离散傅里叶变换.
快速傅里叶变换的定义:快速傅里叶变换是离散傅里叶变换的快速计算算法,是由J.W. Cooley及J.W. Tukey于1965年提出的,该算法实现基于N为2的整数幂次的特殊情形,此时采用蝶形算法可将DFT的计算量大大较小.
连续时间傅里叶变换与离散时间傅里叶变换的联系已经在上一部分的离散傅里叶变换的定义处给出,即:某离散样本集合的离散时间傅里叶变换等于常数倍的样本抽取源函数的周期性延拓,其中,常数为1/T.实际上,离散时间傅里叶变换可看作采用最近邻原则,由样本集合构建的连续时间函数的连续时间傅里叶变换.
离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换的联系:根据以上的分析,很容易得到,时间域是离散的,其频域必然是周期的;根据傅里叶变换的对偶性质,可以得到时间域是周期的,其频域必然是离散的.所以离散傅里叶变换可以看做是将离散时间函数周期化后的频谱计算,其周期化的周期与N有关,且由离散傅里叶变换对时间间隔和频率间隔强加了反比例关系,具体关系式如下.
通过对离散时间函数的周期化,可以实现频谱计算的实践可能性.但是,周期化可能造成离散时间函数的互相干扰,当离散时间函数样本有限时,选择的周期化周期需不小于有效样本的持续时间;但是对于无限样本的离散时间函数样本,则必然造成周期间干扰,从而影响计算机频谱计算的准确度.此时,只能根据需要进行适当的权衡,保证精度的同时,不致采用极多的样本.
对连续时间函数的采样同样造成连续时间函数频谱的周期化,而为了避免周期间混叠,需要采用极小的时间域采样周期,采样周期越小,频域内周期越大,从而周期间干扰极小,甚至可以忽略.所以,采用DFT进行频谱计算时,一定要慎重选择采样间隔及样本数目.
关于离散时间傅里叶变换处的推导,采用了脉冲串傅里叶变换的性质.
为了加深理解,可以对以上涉及的公式进行推导.