【Mathematica】绘制曲线曲率圆圆心的轨迹

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假设曲线的参数方程是r[t]，先求出曲线的【单位切向量】：qie[t_] := Evaluate[D[r[t], t]/Sqrt[D[r[t], t].D[r[t], t]] // FullSimplify]对参数方程求导，得到切向量，再归一化处理，才是单位切向量。

再求曲线的单位法向量：对【单位切向量】求导，得到法向量；对法向量进行归一化处理，得到单位法向量。dr[t_] := Evaluate[D[qie[t], t]]fa[t_] := Evaluate[dr[t]/Sqrt[dr[t].dr[t]] // FullSimplify]注意，一定是对【单位切向量】求导才能得到法向量，而如果直接对r[t]的导数求导，得到的一般不是法向量。

曲率半径是曲率的倒数：qulvr[t_] := 1/ArcCurvature[r[t], t]曲率中心，就是在法向量的方向上：qulvzx[t_] := Evaluate[r[t] + qulvr[t]*fa[t]]

再把曲率圆画出来：Circle[qulvzx[tt], qulvr[t] /. t -> tt]这里要遵守一个求导原则：先求导，在赋值。否则机器会报错。

然后把曲率圆圆心轨迹画出来。这个轨迹曲线的参数方程，恰恰就是qulvzx[t]。ParametricPlot[qulvzx[t], {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 1]]而原曲线的参数方程是r[t_] := (Sin[2 t]) {Cos[t], Sin[t]}。

更换原曲线的参数方程：r[t_] := (Sin[3 t]) {Cos[t], Sin[t]}这是一条三叶玫瑰线。

三叶玫瑰线的极坐标方程，加上一个正数，会“膨胀”起来：r[t_] := (1/3 *(2 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}

当曲率中心完全位于闭曲线内部，且曲线是简单曲线，那么这条曲线一定是凸曲线：r[t_] := (1/21 (20 + Sin[3 t])) {Cos[t], Sin[t]}

再试试它：(1/51 (50 + Sin[5 t])) {Cos[t], Sin[t]}

如果一条平面闭曲线，本身不是简单曲线，就一定不是凸曲线。(1/2 (1 + Sin[2 t])) {Cos[t], Sin[t]}