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曲面，一般是由含两个参数的参数方程所确定，事实上，就是把一个平面上的矩形区域投影到球面上。 例如，我们来绘制一个单位球面，就是一个矩形区域的投影。这个过程，可以称为球面变换。RegionPlot[0 <= u <= 2 Pi && 0 <= v <= Pi, {u, -1, 7}, {v, -1, 5}, AspectRatio -> Automatic]
单位球面对应的参数方程是{Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}，通过限定u和v的值，使之分别由小变大，可以体现这个具体的作图过程。Manipulate[ ParametricPlot3D[{Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}, {u, 0, a0}, {v, 0, Pi}, PlotRange ->1.1], {a0, 0.1, 2 Pi, 0.1}] 类似的其余情形，大家可以自己实验！
给定一个曲面，要绘制曲面上的曲线，可以有两种方法： 一种方法是，用两个曲面相交产生曲线；另一个方法是曲面上直接绘制曲线。 用两个曲面相交产生曲线，这个方法是复杂的。因为要绘制这条相交线，必须确定特定的曲面，但是一条曲线所张的曲面可以说是无限多。 所以说，用曲面相交的方法绘制曲面上的曲线，不如直接在曲面上绘制曲线来的容易。 仍旧以球面曲线为例：继续延续第一步的结果，我们先在平面上的矩形区域内绘制一条参数曲线：
把上面这个曲线投影到球面上，看看这条曲线会变成什么样子 :F[u_, v_] := {Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}ParametricPlot3D[F[u, v] /. {u -> t, v -> 1.5 + Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}] 注意看，这个过程是，矩形区域球面化的同时，里面的曲线也球面化了，这其实仍旧是球面变换，只不过多了个变换对象！
把这条球面曲线和球面一块画出来：F[u_, v_] := {Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}Show[ParametricPlot3D[F[u, v], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, Pi}, PlotStyle -> Opacity[0.5]], ParametricPlot3D[ F[u, v] /. {u -> t, v -> 1.5 + Sin[t]}, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01], Dashed}]] 其中对球面进行了半透明化操作，可以更好地观察这条球面曲线（图中的红色虚线）。
使参数t的最大值由小变大，可以实现这个球面曲线的作图过程：Manipulate[ Show[RegionPlot[ 0 <= u <= 2 Pi && 0 <= v <= Pi, {u, -1, 7}, {v, -1, 5}, AspectRatio -> Automatic]， ParametricPlot[{t, 1.5 + Sin[t]}, {t, -1, a0}]], {a0, 0, 2 Pi}] 和Manipulate[ ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[1.5 + Sin[t]], Cos[t] Sin[1.5 + Sin[t]], Sin[t]}, {t, 0, a0}], {a0, 0.0001, 2 Pi}]
如果在矩形区域内上下平移这条曲线，看看它在球面上的对应图形会发生什么变化：Manipulate[ Show[RegionPlot[ 0 <= u <= 2 Pi && 0 <= v <= Pi， {u, -1, 7}, {v, -1, 5}, AspectRatio -> Automatic], ParametricPlot[{t， b0 + Sin[t]}, {t, -1, 7}]], {b0, 0, 3}]
下面来看看，平面上的曲线是怎么投影到球面上去的。一个点一个点的对应：Manipulate[ Show[ ParametricPlot3D[{Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}, {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, Pi}, PlotStyle -> Opacity[0.5]], ParametricPlot3D[{tt, Sin[tt], 0}, {tt, 0, b0}], ParametricPlot3D[{Cos[t] Cos[Sin[t]], Cos[t] Sin[Sin[t]], Sin[t]}, {t, 0, b0}, PlotStyle -> {Red, Thickness[0.01], Dashed}]], {b0, 0.001, 2 Pi}] 可以发现，球面曲线的首尾相接，尽管对应的平面曲线不是这样！
Mathematica是研究空间曲面和曲线的一个有效工具。
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