【抽象代数】理想因子分解

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假设R是某个虚二次域的整数环，A和B是它的两个理想。如果A=(x1,x2,……,xn)是由这n个元素生成的理想，B=(y1,y2,……,ym)是由这m个元素生成的理想，那么，定义A和B的乘积为：AB=BA=(x1y1,x1y2,……,x1ym,……,xny1,x2y2,……,xnym)这mn个元素生成的理想。

考虑虚二次域F=Q[sqrt(-5)]的整数环R，令ρ=sqrt(5)，那么，2，3，1+ρ和1-ρ都是R里面的既约元。

因为2*3=(1+ρ)(1-ρ)=6，而且2，3，1+ρ和1-ρ彼此互不整除，所以它们都不是素元。这说明Q[sqrt(-5)]的整数环R不是唯一因子分解整环。

设A是由2和1+ρ生成的理想，A的复共轭记为：A'={a'|a∈A}

A和A'的乘积可以写为：AA'=(4,2+2ρ,2-2ρ,6)因为6-4=2，所以这个理想可以视为由2生成的主理想。

定义：理想A能够整除B，如果存在一个理想C，使得B=AC。

如果A=(2,1+ρ)，B=(3,1+ρ)，那么A和B都能整除(1+ρ)。

P是R的素理想：如果a、b∈R且ab∈P，能推导出a、b至少有一个属于P。