在《【高等几何】怎么用几何代数解决平面几何问题？》中，我介绍了用几何代数方法来处理平面几何问题的几个工具，用这些工具可以处理共线、共点这一类的平面几何问题。本文，就用这些工具，来证明Simson定理。本文约定，欧几里得空间点用粗体字母表示，齐次点用非粗体字母表示。
工具/原料
1
电脑
2
网络画板
方法/步骤
1
Simson定理：给定△ABC，D是平面上的任意一点，D到△ABC三边的垂足分别是A1、B1、C1。那么A1、B1、C1三点共线等价于D在△ABC的外接圆上。
2
我们把△A1B1C1称为D关于△ABC的Simson三角形，可以记为：e∧A1∧B1∧C1（这是齐次点）它消失就表示三点共线。
3
用几何代数的形式，算出△ABC的外接圆半径ρ。ρ^2=[(C ∧ B ∧ A) · (A ∧ B ∧ C)]/[(e ∧ A ∧ B ∧ C) · (e ∧ A ∧ B ∧ C)]
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进而可以算出△ABC的外接圆圆心P。其中X^~表示X的对偶。算式中求出来的，是P的齐次点P。
5
点D关于圆A∧B∧C的关系是：A∧B∧C∧D=[(ρ^2−δ^2)/2]e∧A∧B∧C其中δ表示D到圆心P的距离。特别的，当A、B、C、D四点共圆，右边等于0，左边消失。
6
D在线段AC上的垂足B1，可以表示为如下的形式。诸点全部都是非齐次点。
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