Mathematica基础——处理连分数问题

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ContinuedFraction[Pi, 20]——求圆周率π的 连分数展开式的前20项。我们可以把它化简为分式的形式：FromContinuedFraction[ContinuedFraction[Pi, 20]]结果是：/4738167652。

用一些辅助函数，可以写出 π的传统的连分数形式，并且还可以手动控制它的项数：Manipulate[Text@With[{cf=ContinuedFraction[Sqrt[Pi],n]},Column[{Row[{Framed[Style[Pane[DisplayForm[RadicalBox[Pi,2]],{90,30}],Large],Background->LightYellow],' ='}],Pane[Fold[(#1^-1+#2)&,Last[#],Rest[Reverse[#]]]&[ToString/@cf],{600,600},Alignment->{Left,Center}],With[{fcf=FromContinuedFraction[cf]},Pane[Row[{'= ',fcf,' =',N[fcf,20]}],{Automatic,20}]]}]],{{n,5,'项数'},1,25,1,Appearance->'Labeled'}]但是，好像最后面那一部分没能完整显示！END

ContinuedFraction是“连分数”的意思，给出数字的连分数展开式的简化形式。但是，这跟我们平时看到的连分数外形相差很大 。FromContinuedFraction是“来自连分数 ”的意思，就是把连分数化简为分式形式。下面，我们一步一步地来分析上面这段代码！首先，把ContinuedFraction[Sqrt[Pi],n]的结果定义为cf，把fcf=FromContinuedFraction[cf]的结果定义为fcf。注意：cf和fcf定义里面的参数n是变量，因此，cf和fcf要整合的With循环内部，否则代码不能运行！

RadicalBox是“根号盒子”的意思，就是我们常说的根号。但是，下面的代码没什么意义 ：RadicalBox[Pi,1]

要想看到正确的根式符号，需要“展示”——DisplayForm：DisplayForm[RadicalBox[Pi,2]]结果如图。

Pane，是“格子、窗格”的意思！我们用格子把式子包起来，但是格子默认是透明的，所以，看起来没什么效果！但是，实际上是不同的，你只要用鼠标“选中”运行结果，就能看出区别！代码里面的{Automatic,60}表示格子的大小——宽度自定、高度为60.Pane[DisplayForm[RadicalBox[Pi,1]],{Automatic,60}]

我们可以改变格子里面内容的大小（由于里面是以文本形式存在的，所以，用Style来约束它）：Style[Pane[DisplayForm[RadicalBox[Pi,1]]{Automatic,30}],Large]

我们可以给这个格子加上背景色（Background），再套上一个外框（Frame），这样看起来就不会有空洞感了！同时，在格子右边加一个“=”，使格子和等号保持在同一行，这就要用的Row——行！看下图，格子的背景色设置为浅黄色。从第二步到第六部 ，就是给出了这个根号式和后面的等号。这是第一个格子。

再来处理连分数的主题部分——第二个格子。先把cf变成字符串，用到的函数是ToString，代码如下：ToString/@cf你能看出它与cf本身有什么区别吗？看不出来!但是，这一步处理却是必须的。原因稍后就知道。

用Fold函数给出连分数：Fold[(#1^-1+#2)&,Last[#],Rest[Reverse[#]]]&[ToString/@cf]对比一下：Fold[(#1^-1+#2)&,Last[#],Rest[Reverse[#]]]&[cf]，就知道，cf有没有必要作字符串处理了。

再把这个连分数放到一个格子里，格子大小是600*300.Pane[Fold[(#1^-1+#2)&,Last[#],Rest[Reverse[#]]]&[ToString/@cf],{600,300}]这样，π的连分数也放到格子里了。

下面是第三个格子——化简连分数、化为小数形式。fcf=FromContinuedFraction[cf];Pane[Row[{'= ',fcf,' =',N[fcf,20]}],{Automatic,20}]其中，N[fcf,20]就是在“化为小数形式”。可是，我们发现，分式显示不完整，原来是格子太小了 ，我们可以让格子的宽和高都Automatic。

现在，三个格子都做好了，可以用Column排成一列：Column[{Row[{Framed[Style[Pane[DisplayForm[RadicalBox[Pi,2]],{90,30}],Large],Background->LightYellow],' ='}],Pane[Fold[(#1^-1+#2)&,Last[#],Rest[Reverse[#]]]&[ToString/@cf],{600,300},Alignment->{Left,Center}],With[{fcf=FromContinuedFraction[cf]},Pane[Row[{'= ',fcf,' =',N[fcf,20]}],{Automatic,Automatic}]]}]三个格子，对应三段代码，最后用Column整合！

写长代码，要善于分块，最后整合。

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