y=(x^3+10x^2).(x-1)^2的图像示意图

导数与单调性、凸凹性关系

导数相关知识

通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=(x^3+10x^2)/(x-1)^2示意图的主要步骤。

函数的单调性∵y=(x^3+10x^2)/(x-1)^2∴dy/dx=[(3x^2+20x)(x-1)^2-2(x-1)(x^3+10x^2)]/(x-1)^4=[(3x^2+20x)(x-1)-2(x^3+10x^2)]/(x-1)^3=x[(3x+20)(x-1)-2(x^2+10x)]/(x-1)^3=x(x^2-3x-20)/(x-1)^3

令dy/dx=0，则x1=0或x^2-3x-20=0.当x^2-3x-20=0时，有：x2=(3-√89)/2，x3=(3+√89)/2.(1).当x∈((3-√89)/2,0), (1,(3+√89)/2]时，dy/dx＜0，此时函数y为减函数；(2).当x∈(-∞，(3-√89)/2],[0,1),((3+√89)/2，+∞)时，dy/dx＞0，此时函数y为增函数。

∵dy/dx=(x^3-3x^2-20x)/(x-1)^3∴d^2y/dx^2=[(3x^2-6x-20)(x-1)^3-3(x^3-3x^2-20x)(x-1)^2]/(x-1)^6=[(3x^2-6x-20)(x-1)-3(x^3-3x^2-20x)]/(x-1)^4=(46x+20)/(x-1)^4=2(23x+10)/(x-1)^4

令d^2y/dx^2=0,则：则: 23x+10=0，即x=-10/23.(1).当x∈(-∞，-10/23)时，d^2y/dx^2＜0，此时函数y为凸函数；(2).当x∈(-10/23,1)∪(1，+∞)时，d^2y/dx^2＞0，此时函数y为凹函数。

x -7.21 -6.21 -5.21 -4.21 -3.21y 2.151 2.811 3.371 3.780 3.947  x -3.21 -1.82 -0.43 -0.21 0y 3.947 3.407 0.865 0.294 0

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y 0 0.124 0.637 1.891 4.622  x 2 3.05 4.10 5.15 6.21 y 48 28.88 24.66 23.33 23.02  x 6.21 6.41 6.61 6.81 7.01 y 23.02 23.03 23.05 23.09 23.14

综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，函数的示意图如下：