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Mathematica
网络画板
如果A是线段BC的垂直平分线上的动点,那么D的轨迹是圆。
如果A是以B为圆心的圆上的动点,那么D的轨迹也是圆。
如果A是下面的四次曲线上一点,那么D的轨迹也是圆。其中,B是(-1,0)点,C是(1,0)点,四次曲线的方程式是:-9x+15x^2+9x^3+x^4+y^2+9x y^2+2 x^2 y^2+y^4=0。这个四次曲线分成了两支,如图的绿色曲线,每一支都足以确定D的轨迹圆,因此,这个轨迹圆被遍历二次。
由此可知,如果布洛卡点的轨迹是圆,对应的A的轨迹,是十分复杂的。下面,我借助Mathematica的符号计算能力,来具体的考察A的轨迹。
假设坐标:{AA, BB, CC} = {{a, b}, {-1, 0}, {1, 0}};用两个字母表示点的标签,防止与Mathematica的内置函数冲突。
计算布洛卡点D的坐标:DD = buluokadian[AA, BB, CC][[1]] // Factor;
假设D点的轨迹是一个以(u,v)点为圆心、r为半径的圆上,也就是D到(u,v)点的距离等于r。由此,可以反过来确定a、b满足的关系式:fc0 = (DD - {u, v}).(DD - {u, v}) - r^2 // Factor // Numerator;
把上面运行结果里的a和b置换为x和y,就得到A的轨迹方程式:fc = fc0 /. {a -> x, b -> y};
可以验证,A的轨迹方程式至多是一条四次曲线:fc // cishufenli // FullSimplify // Column;
特别赋值:当u=0,v=0,r=1时,代表D的轨迹是单位圆,此时,A的轨迹是直线x=1。注意:A的轨迹的方程式是 (-1 + x) (1 + 2 x + x^2 + y^2)=0,除了x=1以外,还有一个孤立点(-1,0),这个孤立点请忽略。
作为验证,网络画板作图如下。实践证明,D的轨迹仅仅是一段圆弧,而不是一个完整的圆。另外,为什么不用Mathematica作图?因为,Mathematica根据参数方程作图,得到的一定是一个完整的圆,很可能与实际不符。
即便确定D的轨迹的参数方程是圆,也不代表其图像就是完整的圆。这是很容易出现BUG的地方。
图片为高清大图,请放大查看。