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从矩阵A开始A = [0 1 2; 0.5 0 1; 2 1 0]Asave = A;
按“Enter”键。得图1所示。
缩放和平方是算法11.3.1在Golub和Van Loan中的实现，矩阵计算，第3版。% Scale A by power of 2 so that its norm is < 1/2 .[f,e] = log2(norm(A,'inf'));s = max(0,e+1);A = A/2^s; % Pade approximation for exp(A)X = A;c = 1/2;E = eye(size(A)) + c*A;D = eye(size(A)) - c*A;q = 6;p = 1;for k = 2:q c = c * (q-k+1) / (k*(2*q-k+1)); X = A*X; cX = c*X; E = E + cX; if p D = D + cX; else D = D - cX; end p = ~p;endE = D\E;% Undo scaling by repeated squaringfor k = 1:s E = E*E;end E1 = E
按“Enter”键。得图2所示。
exmdem2使用了矩阵指数的经典定义。A = Asave; % Taylor series for exp(A)E = zeros(size(A));F = eye(size(A));k = 1;while norm(E+F-E,1) > 0 E = E + F; F = A*F/k; k = k+1;end E2 = E
按“Enter”键。得图3所示。
通过特征值和特征向量的矩阵指数 expmdemo3假设矩阵具有完整的特征向量集。作为一种实用的数值方法，精度取决于特征向量矩阵的条件。A = Asave; [V,D] = eig(A);E = V * diag(exp(diag(D))) / V; E3 = E
按“Enter”键。得图4所示。
比较结果 对于这个矩阵，它们都做得同样好。E = expm(Asave);err1 = E - E1err2 = E - E2err3 = E - E3
按“Enter”键。得图5所示。
泰勒级数失败下面是一个矩阵，泰勒级数中的项在变为零之前变得非常大。因此，expmdemo2失败。A = [-147 72; -192 93];E1 = expmdemo1(A)E2 = expmdemo2(A)E3 = expmdemo3(A)
按“Enter”键。得图6所示。
这是一个没有完整特征向量集合的矩阵，因此，expmdemo3失败了。 A = [-1 1; 0 -1];E1 = expmdemo1(A)E2 = expmdemo2(A)E3 = expmdemo3(A)
按“Enter”键。得图7所示。