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Mathematica
我们先写一个自定义函数，用来根据给定的格基绘制相应的格。f[w_, J_, color_, opacity_]其中，w代表格子的某个顶点，J是由格基组成的矩阵，color代表格子的颜色，opacity代表透明度。
比如，Z^2的一个以原点为顶点的格子可以画为：Show[f[{0, 0}, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 1], Axes -> True]
我们当然可以把一定范围内所有的格子全部画出来：A = Tuples[Range[-12, 11], 2];Show[f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A,Axes -> True]
用矩阵a左乘，会把格子变成别的形状：a = {{3, 1}, {-1, 2}};Show[ f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A, f[{0, 0}, a, Blue, 1], Axes -> True]a把一个绿色的小正方形变成了一个蓝色的平行四边形。注意，这里直接把a当成了格子的基，因为a乘以2*2的单位矩阵，仍等于a。
我们也可以把附近所有的蓝色格子全部画出来：Show[ f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A, f[#, a, Blue, 1] & /@ (A.a\[Transpose]),Axes -> True]
参考《【抽象代数】Z矩阵的对角化》里面的方法，可以把矩阵a简化为：b={{1,0},{0,-7}};那么我们可以画出b对应的格子：Show[ f[#, {{1, 0}, {0, 1}}, Green, 0.5] & /@ A, f[{0, 0}, b, Red, 1]]这是一个长条形的格子，恰好是由7个1*1的格子组成。
实际上，抽象代数理论把上面步骤4和步骤6里面的格子，视为同一种格子，因为它们对应的矩阵，b是由a对角化而来的。
在实数域里面的矩阵对角化，相当于几何图形的刚体变换；但是Z矩阵的对角化，则不是刚体变换，几何图形会发生变形，比如上面，从平行四边形变成了狭长的长方形。