两个有趣的几何问题

电脑

网络画板

Mathematica

几何表达式

用网络画板作图。大家也可以使用别的画板，怎么方便怎么来。我之所以用网络画板，是因为这个可以在网页里面操作。第一题：直角梯形ABCD，AB//CD，∠A=∠B=90°，AD=a，BC=b，DE=m，CE=n，△CDE的面积=S，∠CED=θ。求证：4S^2=a^2•n^2+b^2•m^2-2•a•b•m•n•cosθ.

证明方法一：设∠ADE=u，∠BCE=v，那么θ=u+v，然后把(sinθ)^2展开来。

但是，方法一对于初中学生，有点超纲。下面的方法二，比较温和，缺点是计算量有点大。

用Mathematica和几何表达式配合，可以解决的比较轻松。设AE=c，BE=d，那么，直接验证原式是否成立就行了。

第二题：AD是∠BAC的平分线，圆O过点A，且与AB、AD、AC交于M、N、P。求证：(AB+AC)•AN•AD=(AM+AP)•AB•AC.

这个问题，用向量法，可以轻松做出来，但是比较难想。下面解法的点睛之笔，是构造圆的直径AK。

向量法和面积法，是解决某些几何问题的两把利刃。

任何方法都不能够解决所有的问题，几何领域也是这样。