如何证明二元函数的可微性

证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0, △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)] =f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y =[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y =f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y 而||≤|α|+|β|, 所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。可微条件1、必要条件若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。2、充分条件若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。扩展资料函数可导的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。一元函数：可导必然连续,连续推不出可导,可导与可微等价。多元函数：可偏导与连续之间没有联系,也就是说可偏导推不出连续,连续推不出可偏导。多元函数中可微必可偏导,可微必连续,可偏导推不出可微,但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。