证明:不等式e^x≥x+1,本题用导数和数形相结合两种方法证明该不等式。
工具/原料
1
导数的相关知识
2
不等式的相关知识
3
指数函数的图象知识
4
一次函数的图象知识
方法1:导数求解方法
1
方法一: 【思路】:用导数的方法求解。 解:设y=e^x-(x+1),则: y’=e^x-1. 令y’=0,则: e^x-1=0 e^x=1所以:x=0。
2
当x>0的时候,y’>0,则y为单调增函数;当x<0的时候,y’<0,则y为单调减函数;所以:当x=0,函数y有最小值,即: y>=ymin=f(0)e^x-(x+1)>=e^0-(0+1)=1-1=0 即:e^x>=x+1成立。
方法2:数形结合的方法
1
解:设函数f(x)=e^x,g(x)=x+1. 对于函数f(x)=e^x,为自然指数函数,定义域为全体实数,函数在定义域上为单调增函数,值域为:[0,+∞),图像示意图如下:
2
对于函数g(x)=x+1,为一次函数,定义域和值域均为全体实数,在定义域范围内,函数为增函数,图像示意图如下:
3
从图像可,函数g(x)=x+1在函数f(x)=e^x的下方,二者有一个交点为(0,1),所以有: f(x)>=g(x) 即:e^x>=x+1,成立。
上一篇:wps输入x拔