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二维数据
mathematica
给一组数据f：p = Table[RandomReal[], 36];q = Table[N[3.6 Sin[x], 6], {x, 0, 2 Pi, 2 Pi/35}];f = p + q
这个数据其实是二维的：因为数据是可数的，所以，我们可以把数据排列为第一个数字，第二个数字，等等。这样，就产生了一个函数关系，其自变量是正整数，而因变量是给定数据里面的数字，如f(1)=0.807243，f(2)=1.01259，……
我们的目标，就是依靠给定的数据，找到相应的函数表达式g，使得g(n)和f(n)尽量的接近，对于所有的n=1,2,3,……。
g如果构造出来了，有什么用呢？最简单的应用，就是预测近期数据。比如，给出前10000个数字，预测第10001个数字。一般的，离得越远，预测的可靠性越低，如天气预报。
假设g(n)=a*n，那么，我们得到一组新数据：g(1)、g(2)、……
我们考虑新数据与原数据之间的差方：(g(1)-f(1))^2，(g(2)-f(2))^2，……这些差方的平均值G，就体现新数据与原数据的差别，或者叫做拟合的误差。如果这个差别过大，那么这个g就不合适了。
我们要求出G的最小值，也就是误差的最小值。我们用微积分学的理论，通过对G关于a求导函数，且导函数等于0，求出a的值，然后带入到G里面，得到G的值。这个值很可能就是最小值，但也有可能不是，有可能只是局部极小值，还有可能是极大值或最大值。
检测是否是极小值：作G关于a的图像（注意，下图的图形不合比例），或者，直接证明，二次函数如果开口朝上，就有最小值。
看看误差最小的时候，拟合效果如何？把原数据作成散点图，再画出使G最小时，g的图像，对比一下，差别一目了然。通过图像可以知道，正比例函数不能用。
考虑一次函数。不过，我们需要关心的是，误差最小的拟合，所以直接找误差最小的一次函数。g[n_] := a*n + bh = g /@ Range[36];G = Table[((h[[n]]) - (f[[n]]))^2/36, {n, 1, 36}] // Total // Simplify;jie = Solve[{D[G, a] == 0, D[G, b] == 0}, {a, b}] // Flatten;Show[ListLinePlot[f, Mesh -> All],Plot[g[n] /. jie, {n, 0, 36}, PlotStyle -> Green]]拟合效果不好。
注意，上面的G是关于a、b的函数，需要分别对a和b求偏导数。G = Table[((h[[n]]) - (f[[n]]))^2/36., {n, 1, 36}] // Total
各个偏导数都等于0，才有可能找到使G取最小值的a和b。
作出G的图像，是个开口朝上的抛物柱面，所以G是有最小值的。
其实，mathematica已经把这个拟合的过程，整合为一个内置命令了：h = a*n + b; FindFit[f, h, {a, b}, n]
先找到误差最小的二次函数：此时得到的误差函数是关于a、b、c的三元函数，需要分别求偏导数，然后所有的偏导数等于0，解这个方程组，得到a、b、c的值，代入到g里面。我们用FindFit，可以有效避免这个复杂的过程：h = a*n^2 + b*n + c;nihe = FindFit[f, h, {a, b, c}, n]Show[ ListLinePlot[f, Mesh -> All], Plot[h /. nihe, {n, 0, 36}, PlotStyle -> Green]]跟上面的一次函数，效果差不多？
再试试三次函数，G是关于a、b、c、d的四元函数。注意：此时的G的图像，已经不太可能绘制出来了。但我们仍旧可以证明，G存在最小值。这个的拟合效果，就很好啦。
跨出一大步，试试七次方程的效果。此时，G是八元函数。上面的过程，就是告诉我们，随着函数次数的增大，误差可以越来越小。
试试正弦函数与一次函数的复合函数：a*sin(b*n+c)+d
再试试指数函数与一次函数的复合：a^n + b*n^3 + c*n^2 + d*n + e
别的情形还有无线多，读者有兴趣的话，可以自己去尝试，这里就不再继续举例。
本文，通过具体的例子，介绍了把数据拟合成不同的函数的例子。
这里介绍的拟合，是各种模型(含参函数)下，最小的均方差对应的情形。而拟合的误差，除了均方差，还可以是绝对值方差等等。
拟合的模型需要大家自己尝试，或者画出散点图去看图猜测。