在三维空间中，把平面z=-1视为复平面Z，上面的点视为复数；把z=1视为另一个复平面W。单值复变函数w=f[z]作用于Z上的复数z，函数值w则出现在W上。这个过程，我称之为【复变函数的拔高】。Z上的单位圆经过f拔高，那么对应点之间的连线，就形成一个曲面。本文，就用Mathematica来绘制这个曲面。
工具/原料
1
电脑
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Mathematica
方法/步骤
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给定复变函数：f[z_] := 1.7 (Sqrt[z + 1] - 3/4)它把单位圆变成下图蓝色曲线：ReIm[f[E^(I t)]]注意，这条曲线不是封闭曲线。
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把这条曲线和单位圆分离到两个复平面上：{Join[ReIm[f[E^(I t)]], {1}], Join[ReIm[E^(I t)], {-1}]}
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引进第二个参数：v*Join[ReIm[z = E^(I t)], {-1}] + (1. - v)*Join[ReIm[Nest[f, z, 1]], {1}]这是一个关于t和v的参数方程，t从0取到2Pi，v从0到1。曲面形态如下，为什么没有缺口？
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对比一下：v*Join[ReIm[f[E^(I t)]], {1}] + (1 - v)*Join[ReIm[E^(I t)], {-1}]
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如果f[z_] := Sin[z]，绘制下面的曲面：v*Join[ReIm[E^(I t)], {-1}] + (1. - v)*Join[ReIm[Nest[f, E^(I t), 3]/2]
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如果f[z_] := 1/z，绘制如下曲面：v*Join[ReIm[E^(I t)], {-1}] + (1. - v)*Join[ReIm[Nest[f, E^(I t), 1]], {1}]
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f[z_] := z/(z + 2)：
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f[z_] := z^2：
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f[z_] := I z和f[z_] := (z - 1)/10 + 1：
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f[z_] := I Sin[z]和f[z_] := E^(I Pi/6*5) Sin[z]：
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