定理的证明是矩阵的重点，对于矩阵，向量组以及方程组其实都是从方程出发，一切都是为了解出方程。那么下面还是针对定理进行解答。
工具/原料
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参考书
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线性代数课本
方法/步骤
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对于矩阵A是m乘以n,B是n乘以s的矩阵，然后要求AB的秩小于等于A的秩，小于等于B的秩。假设方程是齐次，那么AB矩阵跟B矩阵都是0。但是B的解向量知识AB矩阵的子集，但是他们的元也就是列向量的个数是一样的。
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唯一不同的就是AB的解的个数一定是大于或者等于B矩阵的解的个数。那么系数矩阵的关系就是元减去解的秩。因为元为S所以得到关系是R-B的秩小于等于S减去AB的秩。化简得到AB的秩小于等于B的秩。
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证明A的秩与AB的关系。根据上面的思路，需要将矩阵A放到后面作为AB的解。因为只考虑秩，所以用转置进行切结，也就是将A的转置放到后面得到AB的秩与A的转置的秩的关系。A的转置的秩是等于A的秩。
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证明从非齐次出发证明，假设AB=C,也就是说C是可以用A向量进行线性表示，并且我们知道一个向量可以由另一个向量组线性表示那么他们的秩一定是被表示的大于表示的。
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那么A矩阵的秩是大于等于AB的秩。然后从B进行分块开始，无论是按行还是列它们的矩阵一定是可以用B向量线性表示。并且B，C的分块是一样的，要么是行，或者列。
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最后说明的是矩阵或者向量的系数矩阵的秩加上解的秩等于是方程组的元，但是从行进行求解秩是运用了行秩等于列秩的计算。这也是为什么长方形的矩阵一定是线性相关的，秩一定是小于方程的元。
注意事项
向量是矩阵的一种简化形式。