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微分的计算与微分的形式不变性

这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释,并配以一些例题,大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,难度适中,其中包含一些考研数学中的经典题目。本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导,高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。既然是入门,就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容(例如用ε-δ语言证明极限,以及教材中多数定理的证明),有些较深入的问题(例如无穷大与无界的区别和联系,导函数的特性,拉格朗日中值定理的证明思路等)我们会以专题文章的形式给出,供有兴趣的读者选读。本系列上一篇见下面的“经验引用”。45微分的几何意义详解
工具/原料

高等数学基础知识

方法/步骤
1

计算函数微分的“理论基础”。回忆函数微分dy的定义(若Δy=AΔx+o(Δx),则定义dy=AΔx),注意这其中并不存在什么与导数直接相关的内容辞凤艳,但“可微与可导互为充要条件”这一定理不仅表明函数可导与可微这两个概念是等价的,也进一步给出了计算函数微分的方法,由公式dy=f'(x)dx,显然求f(x)的微分只裁巨须求出f(x)的导数。

2

从导数公式得到微分公式。多数教材中有对微分相关公式和法则的总结,其实此类总结没有什么必要(更不用去背),只须牢记dy=f'(x)dx这一基本公式,便可得到函数微分的全部公式。

3

微分公式的证明举例。我们以d(uv)=vdu+udv的证明为例,这个证明很简单,读者应从中进一步体会导数与微分的关系。

4

计算微分的两个例题。

6

微分形式不变性。微分形式不变性是初学者不易戴侧理解的内容,部分原因在于它的作用似乎不大,其实就高等数学要求掌握的内容而言,确是如此,初学者了解即可。

注意事项
1

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