本经验,介绍一阶非齐次线性微分方程的通解的应用、特解求解举例,以及二阶微分方程可用该通解求解的情形。
工具/原料
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微分方程通解公式
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微积分有关知识
一、方程通解公式
一阶非齐次线性微分方程的解析式为:y'+p(x)=q(x),则其通解表达式如下:y=e^[-∫p(x)]dx{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+c}.
二、通解公式的实际应用
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本例中,p(x)=2x,q(x)=4x.
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本例中,p(x)=-1/x,q(x)=2x^2.
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本例中,p(x)=1/x,q(x)=sinx/x.
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本例中,先要将y'前面的系数x变形除后,得到:p(x)=1/x,q(x)=e^x/x.
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本例中,p(x)=-a,q(x)=e^mx.
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此例中,要反过来用一阶非齐次线性微分方程的通解公式,其中:p(y)=-3/y,q(y)=-y/2.
三、用公式求特解情况举例
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本例中p(x)=1/x,q(x)=4/x,求满足y(x=1)=0时的特解。
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本例中p(x)=(2-3x^2)/x^3,q(x)=1,求满足y(x=1)=0时的特解。
四、二阶微分方程可使用通式求解举例
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y''+y'/x=4,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=4。
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y''=y'+x,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=-1,Q=x。
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xy''+y'=lnx,此时先对y'按照通式公式来求解,再对y'积分求解得到y,通解中含有两个常数系数c1和c2,此时P=1/x,Q=lnx/x.
注意事项
微分方程中的p,q都应是连续函数
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