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几何画板(或者z+z超级画板)
一个钝角三角形能不能分割成若干个锐角三角形? 我最先看到这个问题,是在Matrix67的博客里,所以,这里的主要内容,都是转述Matrix67的博客里的内容。 这个题目首次刊登在1960年的《美国数学月刊》的3月份期刊上,并且于同年的11月由美国的一个数学教师Manheimer得到一个解答——任意钝角三角形可以分割成七个锐角三角形: 假设▲BAC是钝角三角形,A是钝角,内接圆是⊙I; 线段BI、CI交⊙I于M、N; 过M、N作⊙I的切线,与▲BAC的边交于D、E、F、G; 连结IA、ID、IE、IF、IG; 那么图中就有七个锐角三角形,分别是▲AID、▲DIE、▲EIF、▲FIG、▲GIA、▲BDE、▲CFG。 问题:一个钝角三角形能分割成n个锐角三角形,那么n的最小值是7吗?
一个钝角三角形能否分割成若干个等腰锐角三角形?答案是可以,分割的步骤如下: 给出钝角三角形BCP,∠BCP是钝角,BC
任意一个三角形可以分割成多少个全等三角形? 第一个答案肯定是4个,只需要连接三角形三边的中点就有了。 第二个答案是9个,把三角形三边都三等分; 以此类推,答案可以是1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,……
是否存在能分割成五个全等的小三角形的三角形? 这里有一个现成的答案,如图,直角三角形ABC,角A是直角,AB:AC=1:2,那么它就可以分割成五个全等的小三角形。 问题:除了这个情况,还有没有别的情形的三角形,也能分割成五个全等三角形?
是否存在能分割成三个全等的小三角形的三角形? 是否存在能分割成六个全等的小三角形的三角形? 显然,正三角形满足这两个要求,有一个内角是60°的直角三角形满足第一个条件。事实上,能够满足第一个条件的三角形只有正三角形和有60°角的直角三角形,你能证明吗? 问题:除了正三角形能分割成六个全等的小三角形以外,还存在别的满足要求的三角形吗?
是否存在能分割成七个全等的小三角形的三角形? 这是一个难题,最早是由单墫提出来的,至今没有获得解答。有兴趣的读者不妨试试。END
这个问题之下,比较有趣的一个小问题是:正三角形分割成n块,要求这n块可以拼接出一个正方形! 目前,可以确定,n的最小值不会大于4。n=4的分割方法是由英国数学家Henry Ernest Dudeney提出来的,他的揭解法如下: 令G、F为所在边的中点,H在BF延长线上,FH=AC/2; 以BH为直径作圆,与AC延长线交于J; 在AB上取两个点D、E,使FD=FJ、DE=AC/2; 分别过G、E作关于DF的垂线段GM、EN。 这样,就把正三角形ABC分成了四块。 问题a:能不能证明,n的最小值等于4? 问题b:如果n=5,你能否找出至少五种分割方法?END
留几个问题,看看大家能不能解答出来:
一个钝角三角形能分割成n个锐角三角形,那么n的最小值是7吗?
如果任意钝角三角形都可以分割成n个等腰锐角三角形,那么n的最小值是不是8?
除了两个短边比值是1:2的直角三角形以外,还有没有别的情形的三角形,也能分割成五个全等三角形?
能够分割成三个全等的小三角形的三角形,只有正三角形和有60°角的直角三角形,你能证明吗?
除了正三角形能分割成六个全等的小三角形以外,还存在别的满足要求的三角形吗?
正三角形分割成n块,要求这n块可以拼接出一个正方形,那么能不能证明,n的最小值等于4?
正三角形分割成5块,要求这5块可以拼接出一个正方形,你能否找出至少五种分割方法?
大难题:是否存在能分割成七个全等的小三角形的三角形?