【抽象代数】主理想整环

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一个整环是主理想整环，如果它的所有理想都是主理想。

Z[x]不是主理想整环。反设由x和2生成的理想(x,2)是主理想，那么存在元素d(x)，使得(x,2)=(d(x))，那么：(x,2)=Z[x]。但是注意，1不在(x,2)里面，导致矛盾。

假设一个整环R有无限个理想 I1、I2、I3……，满足：I1⊂I2⊂I3⊂……，我们说，这个整环存在一个理想的无限升链。令I=I1∪I2∪I3∪……，那么，I也必定是R的一个理想。注意，I1∪I2=I2、I1∪I2∪I3=I3……

主理想整环R不存在理想的无限升链。反设I1⊂I2⊂I3⊂……是R的无限升链，那么I=I1∪I2∪I3∪……就是R的一个理想，进而I是主理想，记I=(a)。设a∈In，有(a)⊂In；另外，In⊂I=(a)，所以，(a)=In，与无限升链的假设矛盾。

综合步骤3和步骤5，可以证明，主理想整环是唯一因子分解整环。

Gauss整数环是主理想整环。假设N是Z[i]的一个理想，a是N中绝对值最小的非零元；任取N的元素b，有b/a=u+vi∈Q[i]；分别选择最接近u、v的整数m、n，有|b/a-m-ni|<1；显然，b-a*(m+ni)∈N；但是，|b-a*(m+ni)|=|a|*|b/a-m-ni|<|a|，所以b-a*(m+ni)=0；b=a*(m+ni)∈(a)，所以，N=(a)。这样，我们间接证明了，Gauss整数环是唯一因子分解整环。