导数画分数函数y=4/(x^2+4)图像的步骤

对数函数性质等相关知识

函数图像有关知识

函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。自变量在分母，根据函数特征，自变量x可以取全体实数，即函数y=4/(x^2+4)的定义域为：（-∞，+∞）。

函数的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数y=4/(x^2+4)的单调区间。

y=4/(x^2+4)，分母y1=x^2+4，为二次函数，图像关于y轴对称，开口向上，当x≥0时，y1函数为增函数，当x＜0时，y1函数为减函数，再取倒数时，则函数单调性相反，即：当x≥0时，y函数为减函数，当x＜0时，y函数为增函数。

函数极值与极限，函数y=4/(x^2+4)的最大值和无穷端点处的极限。

函数y=4/(x^2+4)的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹区间。

dy/dx=-8x/(x^2+4)^2,d^2y/dx^2=-8[(1x^2+4)^2-x*2(1x^2+4)*2ax]/(x^2+4)^4,d^2y/dx^2=-8[(1x^2+4)-4x^2]/(x^2+4)^3,d^2y/dx^2=8(3x^2-4)/(x^2+4)^3,令d^2y/dx^2=0，则3x^2-4=0，即x^2=4/3,求出x1=-(2/3)√3，x2=(2/3)√3。（1）当x∈(-∞，-(2/3)√3),( (2/3)√3，+∞)时，d^2y/dx^2＞0，则此时函数y为凹函数，（2）当∈[-(2/3)√3,(2/3)√3]时，dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。

根据奇偶性判断原则，判断函数为偶函数。因为f(x)=4/(x^2+4),所以f(-x)=4/[1(-x)^2+4]=4/(x^2+4)=f(x),即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。

该偶数分式函数y=4/(x^2+4)部分点解析表如下：

函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，函数y=4/(x^2+4)的示意图如下：