圆的切线方程怎么推导出来的？

电脑

网络画板

首先，一般情况下，圆的方程式是：(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

给定之点的坐标设为A=(p,q)。

看图可知，A到圆的切线最多有两条。我们假设切线的斜率为k，由此可以暂写出切线的方程式：y=k(x-p)+q

切线与圆只有一个交点，由此限定k的取值。我们需要联立方程组，并消去变量y：(x - a)^2 + (k(x-p)+q- b)^2 = r^2

化简一番，可以发现这是一个关于x的一元二次方程：(1 + k^2) x^2 -2 (a + b k + k^2 p - k q) x+ a^2 + (b + k p - q)^2 - r^2=0

这个二次方程的判别式等于零，因此，可以求出k的值：4 (1 + k^2) r^2 - 4 (b - a k + k p - q)^2=0一般情况下，k有两个解。

k的解代入到切线方程里面，就得到理论上的切线方程。

但是，k的解含有二次根式，需要确保根式内部不小于0，这恰好取决于点A是不是在圆的内部。