如何证明四点共面

使用向量法证明 设四个点为A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3）和D（x4，y4，z4）。 1.构造向量AB、AC和AD，即： AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) AC = C - A = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1) AD = D - A = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1)

2.构造向量积V，即： V = AB × AC 其中 × 表示向量积，即叉积。向量积的结果是一个新的向量，其大小为两个向量所围成的平行四边形面积，方向垂直于这两个向量所在平面。所以，向量积V的大小为四个点所在平面的面积，方向垂直于这个平面。

3.计算向量AD与向量V的点积，即： AD·V = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1)·(Vx, Vy, Vz) 如果 AD·V 的结果为 0，则表示点D在向量AB和AC所在平面上，即四点共面。如果不为0，则四点不共面。

使用行列式法证明设四个点为A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），C（x3，y3，z3）和D（x4，y4，z4）。 1.构造一个 4×4 的矩阵M，其中第一列为 1，其余列分别为四个点的 x、y、z 坐标，即：1M = | 1 x1 y1 z1 | | 1 x2 y2 z2 | | 1 x3 y3 z3 | | 1 x4 y4 z4 |

2.计算矩阵M的行列式，即： det(M) = | 1 x1 y1 z1 | | 1 x2 y2 z2 | | 1 x3 y3 z3 | | 1 x4 y4 z4 | = (x2-x1)[(y3-y1)(z4-z1)-(y4-y1)(z3-z1)] - (x3-x1)[(y2-y1)(z4-z1)-(y4-y1)(z2-z1)] + (x4-x1)[(y2-y1)(z3-z1)-(y3-y1)*(z2-z1)]

3.如果 det(M) 的值为 0，则表示四点共面。如果不为 0，则表示四点不共面。