函数y=2x^3-4x的图像示意图

导数相关知识

函数图像有关知识

函数的定义域，根据函数特征，函数自变量可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势，它是研究函数性质的有力工具，在解决比较大小、解决函数图像、值域、最值、不等式问题都有很重要的作用。

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

函数的极限，即求出函数在无穷处的极限。

根据函数的奇偶性的判断方法，对于本题由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数，函数图像关于原点对称，主要判断过程如下图所示：

函数图像五点示意图，列图表解析函数上的五点图如下表所示。

根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性、奇偶性以及极限等相关性质，并在函数的定义域前提下，即可简要画出函数的图像，且该图像关于原点对称。

已知函数y=2x^3-4x，通过导数知识，求:(1)求函数f(x)在点A(3,f(3))处的切线；(2)求函数f(x)单调区间及极值。

解：当x=3时，y(1)=2*3^3-4*3=42;y=2^3-4*3,求导得：y´=4x2-4,当x=3时，y´(1)=4*32-4=32，即为切线的斜率。则切线的方程为:y-42=32(x-3),化为一般方程为：y-32x+54=0。

y´=x^2-4，令y´=0，则x=±1 . 1).当x∈(-∞，-1 )和(1 ，+∞)时，y´>0,此时函数y为单调增函数，所求区间为单调增区间。2).当x∈[-1 ,1 ]时，y´<0,此时函数y为单调减函数，所求区间为单调减区间。则在x1=-1 处取极大值，在x2=11处取极小值。所以：极大值=f(-1 )=-2(1 )3-4*(-1 )=2;极小值=f(1 )=2(1 )3-4*(1 )=-2。

两个增函数的差的单调性不总为增函数

一阶导数可用于函数单调性判断