MATLAB
考研数学
第一，首先给出这道考研数学真题，如下图，下面利用MATLAB解决这道题。
第二，给出函数的导数、拐点等概念。设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，自变量x在x0处的增量为∆x，相应的函数增量为∆y=f(x0+∆x)-f(x0)，如果∆y/∆x在∆x趋近于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。函数y=f(x)在点x0处的一阶导数的几何意义表示曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）处的斜率。一阶导数f'(x)关于自变量x再求导数得到二阶导数f''(x)。对于函数曲线而言，极值点处一阶导数为0，拐点处二阶导数为0；一阶导数刻画的是函数曲线的增减性，二阶导数刻画是函数曲线的凹凸性，拐点两侧二阶导数异号。形象地讲，拐点是曲线向下方向或者向上方向开始改变的点。
第三，启动MATLAB，输入如下代码，求解上述函数曲线的一阶导数、二阶导数、拐点和拐点处的切线方程。close all; clear all; clc;format compact% MATLAB之考研数学:函数的导数和求函数在拐点处的切线方程syms x % 声明符号变量xassume(x > 0) % x的定义域大于0y = x^2+2*log(x); % 符号变量x表示的曲线函数yd1 = diff(y,x,1) % 求函数y的一阶导数d2 = diff(y,x,2) % 求函数y的二阶导数x0 = solve(d2,0) % 求二阶导数为0时的点(即拐点)y0 = subs(y,x,x0) % 拐点处的y值k = subs(d1,x0) % 拐点处的切线斜率f = k*(x-x0)+y0 % 拐点处的切线方程%---------绘制函数曲线和切线方程的图像----------%fplot(inline(y),[0.1,5],'r-');hold onfplot(inline(f),[0.1,5],'k-');hold offtext(double(x0),double(y0),'\leftarrow 拐点(1,1)')xlabel('\fontsize{15}X');ylabel('\fontsize{15}Y')legend('函数曲线 y=x^2+2ln(x)','切线方程 f=4x-3','Location','NorthWest')set(gca,'FontSize',13,'TickDir','out','TickLength',[0.02,0.02])axis fill
第四，保存和运行上述脚本，在命令行窗口得到函数曲线的一阶导数为2x+2/x、二阶导数为2-2/x^2，拐点为（1,1），拐点处的切线方程为y=4x-3，与正确答案一致。
第五，同时得到函数的曲线、切线方程和拐点的图像如下图，拐点为（1,1）。
第六，第三步代码中，syms用于声明符号变量assume()用于设置符号变量的数学属性，比如本文assume(x>0)就是设置x为大于0的符号变量diff()用于求函数的导数，其常用的调用格式为diff(fx,x,n)，其中fx为符号变量表示的函数，x为符号变量，n为求导的阶数，n=1表示求一阶导数，n=2表示求二阶导数。更多diff( )的用法请见MATLAB帮助文档。