【微分几何】球极投影与动画效果

本文，用Mathematica来演示球极投影的动画效果。球面的参数方程是（注意圆心不在原点）：r[{u_, v_}] := {Cos[u] Sin[v], Cos[u] Cos[v], Sin[u] + 1}

工具/原料

电脑

Mathematica

方法/步骤

与纬线平行的圆，投影到底面上，得到的还是一个圆。

底面上任何圆在球面上的球极投影都是圆。

底面上的正弦曲线的球极投影：{(4 u)/(4 + u^2 + Sin[u]^2), (4 Sin[u])/(4 + u^2 + Sin[u]^2), ( 2 (u^2 + Sin[u]^2))/(4 + u^2 + Sin[u]^2)}

底面上过原点的直线，球极投影是球面上的经线。{(12 u)/(4 + 13 u^2), (8 u)/(4 + 13 u^2), (26 u^2)/(4 + 13 u^2)}

绝对值函数的球极投影：

底面上标准正方形的球极投影是：{(16 Abs[Cos[u]] Cos[u])/(19 + Cos[4 u]), (16 Abs[Sin[u]] Sin[u])/( 19 + Cos[4 u]), 2 - 32/(19 + Cos[4 u])}

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