如何证明三角形三条高交于一点

证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：△ABC的两条高BE、CF相交于点O，第三条高AD交高BD于点Q，交高CF于点P。求证：P、Q、O三点重合证明：如图，∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠AEB = ∠AFC = 90°又∵∠BAE = ∠CAF∴△ABE ∽ △ACF∴，即AB·AF = AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ ∽ △ADC，△AFP ∽ △ADB∴，即AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∵AB·AF = AC·AE，AC·AE = AD·AQ，AB·AF = AD·AP∴AD·AQ = AD·AP∴AQ = AP∵点Q、P都在线段AD上∴点Q、P重合∴AD与BE、AD与CF交于同一点∵两条不平行的直线只有一个交点∴BE与CF也交于此点∴点Q、P、O重合。

证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图6，以直线BC为x轴，高AD为y轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件则三条高的直线方程分别为：解（2）和（3）得            ∴这说明BE和CF得交点在AD上，所以三角形的三条高相交于一点。

证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线ML、MN、NL          ∵AM∥BC，MB∥AC          ∴四边形AMBC是平行四边形          ∴AM＝BC          同理，AL＝BC           ∴AM＝AL          ∵AD⊥ML∴AD是ML的垂直平分线同理，BE、CF分别是MN、NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点          ∴AD、BE、CF相交于一点。

证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。证明：如图，∵AD⊥BC于E，BE⊥AC于E ∴△ABD ∽ △CBF∴          （1）同理，由△ADC ∽ △BEC得 ，          （2）由△AFC ∽ △AEB             （3）三式相乘得 即∴AD、BE、CF相交于一点。

证法六：用向量方法证明（初中没有学过相关知识的可以不掌握）