了解一下4阶对称群

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四阶对称群S4有24个元素：a = SymmetricGroup[4];GroupOrder[a];b = GroupElements[a]其中的单位元是Cycles[{}]，表示不变。

对于S4里面的元素x，代表了一种轮换。比如：Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{3, 4}}]]把{p, q, r, s}的第三个元素和第四个元素轮换一下。

Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{2, 3, 4}}]]第四个元素跑到第二个位置上，第二个和第三个向右移动一个位置。

设x和y是S4的两个元素，那么xy表示先执行y，再执行x。PermutationProduct[y,x]表示xy。比如：PermutationProduct[Cycles[{{2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]]Permute[{p, q, r, s}, %]结果和下面的一样：Permute[{p, q, r, s}, Cycles[{{2, 3, 4}}]];Permute[%, Cycles[{{1, 2}}]]

产生S4的乘法表：TableForm[GroupMultiplicationTable[a], TableHeadings -> Automatic]

查看S4里面，所有的二阶元素：c=If[# != Cycles[{}] && PermutationProduct[#, #] == Cycles[{}], #,      0] & /@ b // Union // Drop[#, 1] &一共有9个。

c加上单位元，能构成一个S4的子群吗？看看它的乘法表：c = If[PermutationProduct[#, #] == Cycles[{}], #, 0] & /@ b // Union //   Drop[#, 1] &TableForm[Table[PermutationProduct[m, n][[1]], {m, c}, {n, c}],  TableSpacing -> {5, 2}]