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信号处理工具箱
教学内容1. 研究对象2. 连续时间系统的数学描述3. MATLAB实现连续时间系统的时域分析4. 典型的二阶连续时间系统5. LCR 电路的响应分析5.1 dsolve 解微分方程求系统的响应5.2 利用传递函数求解系统的零状态响应5.3 利用卷积积分求解系统的零状态响应6. 总结与展望
研究对象本课程研究在确定性输入信号(激励信号) 的作用下，连续时间线性时不变系统（Linear Time‐Invariant System, 缩写为LTI System）对输入信号的响应（系统的输出）。线性时不变系统具有以下的基本特性：1. 叠加性与均匀性2. 时不变特性3. 微分特性4. 因果性
连续时间系统的数学描述：微分方程1. 对于连续时间LTI 系统，激励信号 (excitation) e(t) 与系统响应 (response) r(t) 之间的关系，可用线性常系数常微分方程表示2. 零输入响应 (zero‐input response, zir)2.1 激励信号 e(t) = 0 (零输入激励)2.2 完全由起始状态r(k)(0) 所产生的响应3. 零状态响应 (zero‐state response, zsr)3.1 系统的起始状态为零：r (k)(0) = 03.2 只由激励信号e(t) 所产生的响应
连续时间系统的数学描述：拉氏变换1. 如前所述，连续时间 LTI 系统的微分方程为2. 根据拉氏变换的性质，当初始条件为零时，则有3. 在零初始条件下 (r (k)(0) = 0 ，r(t) 为系统的零状态响应)，对系统的微分方程两边取拉氏变换，则有
连续时间系统的数学描述：传递函数和时域卷积1. 连续时间 LTI 系统的传递函数 H(s) 由系统微分方程的系数所确定2. 根据系统的时域分析，并借助卷积定理，系统的激励 e(t)，零状态响应 r(t)和冲激响应 h(t)，以及它们的拉氏变换 E(s) R(s) H(s) 满足以下关系3. 根据系统传递函数的定义，可知：冲激响应h(t) 与传递函数H(s) 构成一个拉氏变换对，即
MATLAB 实现连续时间系统的时域分析1. dsolve 函数求解系统的微分方程，得到系统的零输入/零状态/全响应2. 基于系统的传递函数 H(s)，使用函数 lsim，得到系统的零状态响应3. 基于系统的冲激响应 h(t)，借助卷积函数 conv，得到系统的零状态响应
典型的二阶连续时间系统：机械位移系统 & LCR 电路系统1. 根据牛顿第二定律F = ma，可得振动系统的位移微分方程2. 基于 KCL 和 KVL 原理，可得二阶电路系统的电容两端电压微分方程3. 机械位移系统与LCR 电路虽然是不同性质的系统，但是对比两者的系统微分方程，它们具有完全一致的数学描述。因此，以上两个系统的分析方法，完全一致。
LCR 电路的响应分析1. 已知LCR 电路的基本参数2. 初始条件3. 激励电压4. 求解电容两端电压4.1 零输入响应4.2 零状态响应4.3 全响应
LCR 电路的响应分析：dsolve 求解微分方程1. 求解系统的微分方程，即可求得电容两端电压2. 将电路的参数代入系统的微分方程3. 在 MATLAB 信号分析中，习惯上将输出响应用 y(t) 表示，激励用 u(t) 表示
dsolve 求解微分方程的局限性1. 零状态响应：令初始条件为 0，激励2. 返回的yzs_s 异常复杂，并且含有隐格式的积分项，无法使用时间t 对其赋值，求解宣告失败3. 针对dsolve 求解失败的系统微分方程3.1 求微分方程的数值解：ode45, ode23 等专用函数3.2 使用lsim 求解系统的响应
利用传递函数求解零状态响应1. 从系统微分方程到系统的传递函数2. MATLAB 生成系统的传递函数
利用传递函数求解 LCR 电路的零状态响应1. 根据系统的微分方程，使用 MATLAB 里的 tf 函数得到系统的传递函数2. 调用 MATLAB 里的 lsim 求解系统的零状态响应2.1 传递函数是基于系统的零状态响应推导而来，因此，基于传递函数求得的系统响应，为系统的零状态响应y = lsim(sys,u,t)sys: 系统的模型(传递函数)u: 激励信号u(t)t: 采样时间点
利用卷积积分求解零状态响应1. 系统的冲激响应 h(t) 与激励信号 e(t) 的卷积结果为系统的零状态响应2. MATLAB 求解步骤2.1 定义系统的传递函数：sys = tf(num, den)2.2 计算系统的冲激响应 h(t)：h = impulse(sys,t)2.3 计算卷积积分
MATLAB 连续信号卷积积分的计算1. MATLAB 里的conv 函数是针对于离散序列的卷积和，求解连续信号的卷积积分，可以借助于conv 函数，但是需要做一些相应的变换。设连续函数f1(t) 和f2(t) 的采样时间间隔均为ΔT，则有2. 卷积结果f(t) 对应的采样时间向量f1(t) 的采样时间向量：t1f2(t) 的采样时间向量：t2f(t) 的采样时间向量：tt = t1(1) + t2(1) : ΔT : t1(end) + t2(end)卷积积分f 的采样值：f = conv(f1 , f2) x ΔT
总结与展望1. 基于 dsolve 求解系统微分方程1.1 直观，可以一次性求解出系统的全响应1.2 对于复杂的激励信号，无法求解，此时可采用数值方法求解(ode45, ode23)2. 基于传递函数 H(s) 的 lsim 求解2.1 求解简单，操作方便，但只能求解零状态响应2.2 lsim 本身功能非常强大，可以基于系统的状态空间模型(state‐space model)，求解系统的在任意输入下的响应3. 基于卷积积分的求解3.1 求解简单，操作方便，物理意义明确，但只能求解零状态响应3.2 当系统传递函数未知时，只要知道系统的冲激响应h(t)，即可求系统在激励信号下的零状态响应
使用MATLAB做信号处理，学好信号与系统等专业课，是头等大事
需要理解不同的求解方法，背后所支撑的数学原理
一个问题，可能有多种方法求解，应该使用更开阔的视野看问题