向量的重要定理？

参考书

线性代数课本

如果一个向量组a1,a2,a3,a4,a5可以由另一个向量组b1,b2,b3,b4线性表示，并且这个向量的个数是大于用来表示的向量组的个数。那么被表示的向量一定是线性相关的。

证明，从线性相关的充分必要条件秩的情况入手，因为线性相关需要向量组的秩小于向量的个数也就是系数矩阵的秩小于满秩的状态也就是行列式是等于0.

假设少数向量是线性相关的，而多数向量可以由少数向量进行线性表示那么最后通过化简可以得到一个关于少数向量的线性方程组，根据少数向量是线性相关的条件，那么多数向量也一定是线性相关的。

假设少数向量是线性无关的，根据多数向量可以由少数向量表示，那么一定是存在一个少数向量表示的多数向量的关系。因为线性无关那么一定是所有的常数等于0等到一个关于常数K的齐次线性方程组。并且如果行向量少于列向量绝对的收敛线性相关。

推论，如果已知一个向量组是线性无关的，并且可以由另外的向量组表示，证明向量之间的关系是被表示的向量是可以被用来表示的向量进行线性表示。也就是S小于等于T。

证明过程类似于上面的。不可以直接用线性无关进行证明，因为所有的常数项是等于0的。所以假设被表示的向量组线性相关，那么得到向量的个数的关系是S大于T。所以反面就是S小于等于T。