给定二次代数数域Q[sqrt(d)],如果它里面的所有代数整数组成的代数整数环是一个Euclid整环,那么,我们就称这个二次代数数域为Euclid域。本文,介绍虚二次Euclid域。
工具/原料
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电脑
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网络画板(排版)
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python
方法/步骤
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要验证Q[sqrt(d)]是或者不是Euclid域,只需要验证,域里面元素的范数是不是Euclid函数,也就是对任意的元素r,是否存在域里面的代数整数t,使得r-t的范数小于1。
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当d模4余2或3的时候,代数整数t的m和n都是整数,那么r-t的范数,就可以写为:(u-m)^2-d(v-n)^2
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当u=v=1/2的时候,r-t的范数将不小于(1-d)/4。为了保证对任意u和v,不等式N(r-t)<1都有m和n存在,必须有:(1-d)/4<1,因此,d>-3。
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此时,d只能等于负1或负2。容易验证,当d等于负1或负2时,m和n是存在的.实际上,m和n只要分别等于u和v的整数部分就可以。
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当d模4余1的时候,代数整数t变复杂了,因而对应的r-t的范数也变复杂了。当u=v=1/4的时候,r-t的范数应该大于(1-d)/16。因此,d可以取值-3,-7,-11。
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当d取值-3,-7,-11的时候,m和n是存在的,只需要n是2v的整数部分、m是u-n/2的整数部分。
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