数学运算题型——排列组合问题

排列组合问题的情况是采用加法计算还是乘法计算？主要是分析某个行为完成事情的情况数量和还是多个步骤的多种行为完成事情的情况数量和？如果是有不同种行为方法可以完成某件事情，那么这些行为方法就是”分类情况”，采用加法计算，有多少种行为方法就是有多少种情况；如果是几个步骤共同才能完成某件事情，而且每个步骤又有多种行为方法，那么这个就是“分步情况”，采用乘法计算，将每个步骤的行为方法数量想乘就是所求的情况数量。

排列组合问题包括排列问题和组合问题。排列问题可以看作是在组合问题的基础上再进行排序，而组合问题就是从一定数量的元素中取出一定数量的元素而已，将组合的结果再进行排序，得到的值就是排列结果。组合问题仅仅是取数据，而排列问题不但要取数据，而且要排序，一旦涉及到排列问题，就要考虑“复杂”的排序问题。

排列组合问题往往不会像中心思想列举的那么简单，肯定不会是简单地取数据或者排列数据。当然备考过程应该尽可能地练习到复杂的排列组合问题。解决排列组合问题需要注意一些细节问题：1.有些特殊复杂的情况可以从“反面情况”进行考虑分析，主要是针对题干所求的情况有多种，而反面情况数量较少，甚至只有一种时，这个时候只需要将所有情况减去反面情况来求解题干信息要求的多种复杂情况；2.圆桌、开会等圆形排列问题，解答此类问题的时候只需要将其中的一个对象设为第一个位置，然后按照直线的解题思想解答即可；3.针对题干信息中的特殊要求，类似某个对象不能在第一个位置等等情况，解题时应该首先解决特殊对象的情况，然后再考虑其它的；4.信封问题往往是最棘手的，其本质就是错位重排问题，表现形式是将一定数量的编号信装入对应数量的信封中，使其信和信封的编号不能相同，解决此类题目只需熟记公式即可。信和信封的数量为N，当N是1,2,3,4,5...，其实熟记常用的就可以了。1——0；2——1；3——2；4——9；5——44；N——（N-1）（前两种情况的和）

排列组合问题的特殊情况需要采用特殊方法来解答才能更加高效简便。捆绑法——针对一定数量的对象必须相邻的情况；比如N个元素进行排序，要求M个元素必须相邻，此时解题思想就是将M个元素看成整体，M元素的排列情况数量是M的阶乘，而剩下的N-M加上“整体M”即为1再进行排列，数量是（N-M+1）阶乘，因此总的结果值就是M的阶乘和（N-M+1）的阶乘想乘的结果；插空法——针对一定数量的对象必须相隔，也就是互不相邻的情况；比如N个元素进行排序，要求M个元素必须互不相邻，此时应该先考虑将其它元素先进行排序，情况数量是（N-M）阶乘，将会产生（N-M+1）个位置，然后再将M个元素填充到（N-M+1）数量的位置中，因此总的结果值就是（N-M）的阶乘和在（N-M+1）进行M排列的值想乘的结果；隔板法——针对排列问题中的将总数量的对象分组时，每组数量不少于1个的情况；比如将N个元素分成M组，但是每组的数量必须大于1个，核心思想就是将M-1个木板插入到N个元素的N-1空中，这样形成的分组就是M组，反过来分析就是由N-1空，因此结果值就是将(N-1)个元素取(M-1)个的结果。